Fig. 1

La bolla de sapone

Lo sai che d’è la bolla de sapone?

L’astuccio trasparente d’un sospiro

che uscita da la canna vola in giro

sballottolata senza direzzione

pe’ fasse cunnolà come se sia

dar vento stesso che la porti via.

Una farfalla bianca un certo giorno

ner vedé quella palla cristallina

che rispecchiava come na’ vetrina

tutta la robba che c’aveva intorno

j’agnede incontro e la chiamò

Sorella! Fammete rimirà, quanto sei bella!

Er cielo er mare l’arberi e li fiori

pare che t’accompagnino ner volo

e mentre rubbi in un momento solo

tutte le luci e tutti li colori

te godi er monno e te ne vai tranquilla

ner sole che brilluccica e sfavilla. –

La bolla de sapone je rispose

– So’ bella sì, ma duro troppo poco.

La vita mia che nasce per un gioco

come la maggior parte delle cose

è una goccia e tutto quanto

finisce in una lacrima di pianto!-

Trilussa

Sembra incredibile, ma un oggetto evanescente come una semplice bolla di sapone agli occhi di uno scienziato diventa un ricchissimo laboratorio di fisica dei fluidi, di meccanica, di ottica, di elettromagnetismo, di chimica e di matematica.

Sì anche di matematica! Karen Keskulla Uhlenbeck, matematica statunitense, ha vinto il Premio Abel 2019, uno dei premi più prestigiosi del settore, per il suo lavoro ad ampio raggio nei campi dell’analisi, della geometria e della fisica matematica.

Il risultato più rilevante dei suoi studi riguarda la configurazione di minima energia delle bolle di sapone, in cui le pellicole di liquido si dispongono in una struttura di “superficie minima”.

Sono tanti i fenomeni che modellano una bolla di sapone…

Partiamo dalla forma:

Perché una bolla ha la forma di una sfera e non di un’altra figura geometrica?

Il motivo è relativamente semplice: la sfera è il solido con la minor superficie possibile a parità di volume; è, infatti, la figura tridimensionale che ha il minimo rapporto superficie/volume e ciò spiega perché tale forma sia privilegiata in natura, visto che molti oggetti, dalle gocce di liquido ai corpi celesti, la assumono.

Da un punto di vista fisico ciò è rilevante perché significa che la forma sferica rende minimo il costo energetico per produrre, ad esempio, una bolla e tutti sanno bene come la natura automaticamente segua la via del risparmio!

Massimo risultato, minimo costo!

Ma quale forza è responsabile di questa forma sferica?

Cerchiamo di approfondire la questione e per farlo dobbiamo studiare la struttura dell’acqua e dell’acqua saponata.

Le molecole dell’acqua sono molecole polari in cui la disposizione degli atomi di idrogeno e di ossigeno è tale per cui la singola molecola H₂O è in grado di attrarre con forze elettriche altre molecole poste nelle vicinanze.

In una molecola polare il “baricentro” delle cariche positive non coincide con quello delle cariche negative, ovvero il momento dipolare non è nullo.

Conseguenza di ciò è che le molecole polari dell’acqua ruotano per disporsi opportunamente: i due atomi di idrogeno, disposti su un lato della molecola, sono attratti dagli atomi di ossigeno di altre molecole di acqua vicine; questo tipo di legame è detto “legame idrogeno”.

Fig. 2

Allo stato liquido le molecole hanno ancora troppa energia cinetica dovuta all’agitazione termica e non rimangono bloccate in posizioni fisse; i legami idrogeno (H-bond), che sono numerosi ma temporanei, diminuiscono di numero all’aumentare delle temperature, pur continuando a tenere le molecole di acqua molto vicine.

Cosa accade esattamente all’interno di una massa d’acqua?

Le molecole lontane dalla superficie libera sono impegnate nel legame con le molecole adiacenti; le spinte ricevute “da sinistra” sono compensate da quelle ricevute “da destra”… e per ogni spinta “verso l’alto” c’è una spinta “verso il basso”.

Ovviamente in superficie la situazione è diversa. La singola molecola di acqua è attratta verso l’interno del liquido e non è spinta verso l’alto, poiché non c’è acqua sopra la superficie.

La conseguenza di ciò è che le molecole superficiali generano un effetto “pelle tesa” detto tensione superficiale, che svolge un importante ruolo nel comportamento dell’acqua e dei liquidi in genere.

Le bolle possono esistere proprio perché lo strato superficiale di un liquido possiede una certa tensione e assumono la forma sferica proprio a causa di tale forza.

Si può osservare che la forma sferica si distorce in presenza di correnti d’aria e dipende dall’azione del gonfiaggio, ma in condizioni non perturbate la bolla mantiene una perfetta forma sferica. Una forma frutto di un delicato bilanciamento di forze: quella dovuta alla pressione esercitata dall’aria all’interno e la forza di tensione superficiale che si oppone all’aumento di volume della bolla stessa.

Chi vuole approfondire può dare un’occhiata all’interessante video del canale Didattica della Matematica della Prof.ssa Ornella Robutti dell’Università di Torino, video fruibile anche da studenti delle ultime classi della scuola secondaria di primo grado: Le superfici minime nelle bolle di sapone

Perché per fare la bolla occorre il sapone?

È davvero necessario il detersivo liquido perché si formi la lamina e poi questa diventi una bolla sferica?

Perché non basta la tensione superficiale per la formazione di una bolla e occorre aggiungere all’acqua una sostanza tensioattiva, come il sapone?

Esistono due motivi.

Il primo è che la tensione superficiale dell’acqua naturale è troppo forte per far durare nel tempo le bolle.

Il secondo è che l’evaporazione del sottile film di acqua causerebbe rapidamente la rottura della bolla.

Il sapone è costituito da molecole composte da lunghe catene di atomi di carbonio e idrogeno. Ad una estremità della catena vi è una configurazione di atomi idrofila e ionizzata negativamente, che si attacca all’acqua, mentre l’altra estremità, la coda, è idrofobica e si fissa facilmente al grasso.

Fig. 3

In una soluzione di acqua saponata, le estremità idrofobe delle molecole di sapone non “vogliono” stare nel liquido, cercano la strada verso la superficie e spingono la loro coda idrofoba fuori dall’acqua.

Fig. 4

La conseguenza è che le molecole di acqua si separano tra loro, le forze di tensione superficiale si riducono all’aumentare della distanza tra le molecole d’acqua, le molecole di sapone coinvolte fanno diminuire la tensione superficiale.

Inoltre, visto che l’estremità idrofoba (grassa) della molecola di sapone sporge dalla superficie della bolla, il film che costituisce la bolla è in qualche modo protetto dall’evaporare (il grasso non evapora) e ciò prolunga sostanzialmente la vita della bolla stessa.

Fig. 5

In conclusione è la presenza del sapone nell’acqua a ridurre a ⅓ la tensione superficiale, consentendo una maggiore durata dell’effetto di separazione fra interno ed esterno, anche in presenza di una lamina sottile.

La presenza del sapone, quindi, non rinforza la bolla, ma la stabilizza per effetto Gibbs-Marangoni. Secondo questo effetto  si verifica un trasferimento di massa attraverso una pellicola di liquido, a causa di un gradiente di tensione superficiale.

Poiché un liquido con una tensione superficiale maggiore esercita una forza maggiore sul liquido circostante, rispetto ad un liquido con una bassa tensione superficiale, la presenza di tale gradiente fa sì che il liquido scorra via da regioni a bassa tensione verso zone a tensione superficiale più alta.

Quando il film superficiale della bolla si allunga e assottiglia mentre la gonfiamo, la concentrazione di sapone nella pellicola diminuisce e ciò causa un aumento della tensione superficiale.

In questo modo la presenza del sapone va a “sostenere” le parti più deboli della lamina, impedendo l’ulteriore ingrandimento della bolla, e inoltre, come già detto, riduce l’evaporazione, mantenendo in vita la bolla per più tempo.

Cosa accade a due bolle quando si incontrano?

Sappiamo che le bolle cercano sempre di ridurre al minimo la loro superficie, quindi quando due bolle si incontrano mettono in comune una “parete” fondendosi.

Se le bolle hanno la stessa grandezza, questa parete sarà piatta. Se le bolle sono di dimensioni diverse, la bolla più piccola, in cui c’è sempre una maggiore pressione interna, diventerà un rigonfiamento nella bolla più grande.

Fig. 6

E se le bolle fossero 3?

Quando si incontrano tre bolle, indipendentemente dalla loro grandezza, si attaccano tra loro secondo angoli di 120° e questa regola vale anche per gruppi più numerosi, ad esempio nelle schiume.

Ecco una bellissima foto di Janet Waters

Fig. 7

Quali formule per le bolle?

Possiamo calcolare la pressione agente sulla pellicola di una bolla in funzione della tensione superficiale, che tende a far contrarre la lamina sottile, comprimendo il volume e aumentando la pressione dell’aria che si trova all’interno.

La pressione totale agente sulla lamina è uguale alla differenza tra la pressione interna (maggiore) e quella esterna.

La maggiore pressione interna tende a far aumentare il volume della bolla di una quantità dV; si può calcolare il lavoro compiuto per questo aumento.

Indicando con S la superficie della sfera possiamo scrivere:

Ma il lavoro compiuto dalla tensione superficiale è negativo, perché si oppone all’espansione della bolla,

All’equilibrio la somma dei lavori è nulla:

Dall’ultima relazione ricaviamo

Quindi, la pressione esercitata sulla lamina è direttamente proporzionale alla tensione superficiale e inversamente proporzionale al raggio; ciò significa che quanto più la bolla ha piccola dimensione, tanto maggiore è la pressione.

Le relazioni appena analizzate riguardano bolle con aria all’interno, per bolle contenenti liquido le leggi si devono modificare in quanto la tensione superficiale riguarda solo la superficie esterna e quindi la pressione sulla lamina si dimezza

Perché le bolle di sapone sono colorate?

Osservando una bolla di sapone siamo colpiti dai suoi colori iridescenti. Un aspetto affascinante da un punto di vista estetico, ma molto interessante anche da un punto di vista scientifico.

La lamina di sapone che costituisce la bolla è molto sottile e il suo spessore arriva anche a valori di soli 25 nm! I colori che vediamo sono il risultato dell’interazione della luce con la sottile lamina di acqua saponata.

Quando la luce “bianca”, che è radiazione elettromagnetica, colpisce la pellicola, alcuni raggi sono riflessi dalla superficie esterna di questa, mentre altri penetrano all’interno del liquido della lamina e vengono riflessi dalla seconda superficie.

Fig. 8

Ecco che i diversi raggi luminosi derivanti dalla prima e dalla seconda riflessione interferiscono tra loro e il risultato dell’interferenza dipenderà dallo spessore della lamina, dalla lunghezza d’onda del colore  e dagli angoli di incidenza e di osservazione.

Fig. 9

L’interferenza della luce potrà essere costruttiva per alcune lunghezze d’onda e distruttiva per altre e dipenderà sempre dallo spessore del film.

I continui cambiamenti di colore della bolla sono proprio legati al mutamento di spessore della lamina. La pellicola, infatti, tende localmente ad assottigliarsi sia per effetto della forza di gravità, sia per fenomeni locali come l’evaporazione.

Questo significa che una bolla di sapone che fluttua in aria, poiché l’acqua presente sulla sua superficie evapora al trascorrere del tempo, riflette e assorbe lunghezze d’onda diverse in momenti diversi. Vengono quindi osservati massimi e minimi di intensità diversi per ogni colore!

Analizziamo bene la situazione.

• Consideriamo una lamina di acqua saponata di spessore d,  il cui indice di rifrazione è n₂  e supponiamo di avere un raggio luminoso che colpisce quasi perpendicolarmente la superficie della lamina, attraversando l’aria con indice di rifrazione n₁ (approssimabile a quello del vuoto). L’onda incidente ha una lunghezza d’onda λ₁ = c/f.
• Dato che l’indice di rifrazione dell’acqua saponata è n₂ = c/v e c = λ₁f  si deduce che la lunghezza d’onda nell’acqua saponata è minore di quella nell’aria λ₂ = v/f =λ₁/n₂ .
• Il raggio di luce riflesso dalla superficie esterna della lamina cambia la propria fase di π rad e ciò corrisponde ad uno sfasamento di mezza lunghezza d’onda. Ciò accade perché la riflessione della luce avviene su una superficie che separa un mezzo meno denso (aria) da un mezzo più denso (acqua saponata).
• Il raggio riflesso dalla superficie inferiore della lamina non subisce alcun cambiamento di fase rispetto al raggio rifratto perché la riflessione avviene tra un mezzo più denso ed uno meno denso; in compenso il secondo raggio riflesso allunga il proprio cammino ottico di una distanza approssimabile a 2d.

Perché all’osservatore i due raggi giungano in fase ed interferiscano in modo costruttivo è necessario che la differenza di cammino ottico 𝜹, dovuta al mezzo con indice di rifrazione n₂, corrisponda ad un numero dispari  di mezze  lunghezze d’onda  λ₂.

Con queste condizioni per una lamina di acqua saponata in aria osserviamo frange di interferenza chiare!

Fig. 10

Per l’interferenza distruttiva, corrispondente a frange scure,  si ha la seguente condizione:

Fig. 11

In conclusione l’osservatore vedrà zone buie e zone luminose colorate, alterate dalla circolazione del liquido che tende a spostarsi verso il basso per gravità.

Fig. 12

Le parti più sottili della pellicola assorbono la luce rossa che ha maggiore lunghezza d’onda e riflettono il  blu-verde che ha minore lunghezza d’onda. Quando il film si assottiglia ulteriormente si ha l’assorbimento nel giallo e la riflessione nel blu. Successivamente si ha assorbimento nel verde e riflessione nel magenta. Infine l’assorbimento nel blu e si riflette il colore giallo oro, fino alla scomparsa della colorazione.

Infatti, certi colori delle onde incidenti si rafforzano con l’interferenza in alcune zone, diventando più brillanti, mentre scompaiono, lasciando il posto ai colori ad essi complementari, in altre.

Si deve precisare che la sovrapposizione dei raggi luminosi avviene in modo tale che si rinforzino solamente determinati colori, che tuttavia non sono i colori puri dell’arcobaleno, perché ad ogni colore rafforzato dall’interferenza costruttiva si aggiungono piccole quantità di altri colori.

Pertanto non vediamo il rosso, ma il magenta (che proviene dalla somma di rosso e blu), non vediamo il blu, ma il ciano (che proviene dalla somma di blu e verde), non vediamo il verde, ma il giallo (che proviene dalla somma di rosso e verde).

Alla fine quando il film diventa talmente sottile da avere uno spessore confrontabile con la lunghezza d’onda del raggio incidente non si osserverà alcun colore e ciò significa che la pellicola apparirà scura, indipendentemente da quanto verrà illuminata.

In genere si assume come valore di minimo spessore d < 0,1 λ, a questo stadio lo spessore del film è circa 25 nm e “l’arcobaleno” scompare; compaiono cerchi scuri, a causa dell’interferenza distruttiva che annulla la luce riflessa dalla superficie della bolla.

Questi cerchi crescono e si uniscono l’un l’altro e pochi istanti dopo la bolla si rompe!

Immagine e filmato sono documenti del team di ricerca del fisico Li Shen dell’Imperial College di Londra il 22 Novembre 2016 durante il meeting della Società Fisica Americana – Divisione di Dinamica dei Fluidi, tenutasi a Portland in Oregon.

Fig. 13

VIDEO: https://youtu.be/6qzQIsg5eTE (Gallery of Fluid Motion)

Poiché l’interferenza dipende dall’angolo di osservazione, anche se la superficie della bolla presentasse uno spessore uniforme, si osserverebbero variazioni di colore dovute al raggio di curvatura o ad eventuali movimenti.

Concludiamo questo lungo documento con una citazione dal testo di Charles Vernon Boys, Le bolle di sapone e le forze che le modellano, Zanichelli (1963), purtroppo fuori commercio.

«… Credo che non ci sia nessuno in questa stanza che non abbia fatto qualche volta una comune bolla di sapone, e che, ammirandone la forma perfetta e la meravigliosa lucentezza dei colori, non si sia chiesto come fosse possibile fare tanto facilmente un oggetto così splendido … in una comune bolla di sapone c’è molto di più di quanto immagini di solito chi si limita a considerarla un gioco».