Kinetic Art: la magica danza dei pendoli

Fig. 1

Fotogramma tratto da un video

Che cos’è la Kinetic Art?

Con questo termine si intende una corrente artistica nata in Europa durante gli anni sessanta e settanta del XX secolo; tale movimento si è diffuso successivamente negli Stati Uniti prendendo il nome di Op Art e in cui veniva approfondito l’esame dell’illusione ottica bidimensionale.

Cosa lega la Kinetic Art alla Fisica?

Unicamente il fatto che la corrente artistica suddetta ha compiuto una serie di ricerche artistiche che miravano a studiare e sperimentare i fenomeni della percezione visiva e del movimento e in ambito fisico sono molti gli esempi di movimenti che suscitano stupore e meraviglia nell’osservatore.

Mai sentito parlare di danza dei pendoli?

Prima di trattare da un punto di vista quantitativo il fenomeno vale la pena visionare il seguente video, in cui alcuni pendoli oscillano dando origine ad una danza elegante e ipnotica.

Pendulum Waves

Stupefacente, vero? Le oscillazioni compongono figure animate che si trasformano continuamente da serpenti striscianti a spirali singole o multiple che si avvolgono, per passare poi ad osservare gruppi di palline che oscillano intrecciandosi.

L’apparente caos, derivante dalla mancanza di sincronismo dei movimenti, crea, in modo imprevedibile, momenti di singolare bellezza e simmetria, fino a quando il sistema ritorna, dopo un po’, alla configurazione iniziale.

Quale modello matematico ci consente di analizzare questi comportamenti?

Tutti sanno che cos’è un pendolo da un punto di vista fisico: un filo inestensibile di lunghezza l con appesa ad una estremità una massa m, soggetta all’attrazione gravitazionale.

Il periodo di oscillazione di un pendolo non dipende dal valore di questa massa, ma solo dalla lunghezza del filo a cui essa è appesa.

Nel video si vede una struttura metallica a cui sono legati 15 pendoli di lunghezza accuratamente calcolata in modo da avere periodi di oscillazione ben precisi, per cui, ad esempio, quando il più lungo compie 50 oscillazioni, quello successivo ne fa 51, quello dopo 52 e così via.

Ricordiamo la legge del periodo

Fig. 2

I due pendoli rappresentati nel disegno sono appesi tramite una sospensione bifilare con cui si evitano le orbite ellittiche delle masse pendolari che si verificano sempre se le sferette sono sospese ad un unico filo. In questa situazione la lunghezza del pendolo viene misurata lungo la linea tratteggiata.

Ipotesi semplificative del modello

La trattazione teorica elementare del pendolo ha alla base alcune ipotesi semplificative che non necessariamente si riscontrano in un pendolo reale.

In particolare il filo deve essere inestensibile e senza massa, l’attrito è assente, la massa deve essere puntiforme, il moto esclusivamente planare, senza torsioni, rotazioni e le oscillazioni devono essere piccole per approssimare sin𝜶≅𝜶.

Nei casi reali (non ideali!) ci si aspetta di trovare una dipendenza del periodo con l’ampiezza dell’angolo 𝜶 di oscillazione in quanto non è più vera l’approssimazione sin𝜶≅𝜶.

L’angolo 𝜶 non può essere considerato infinitesimo.

Nella legge appena scritta T₀ rappresenta il periodo che si dovrebbe misurare nel caso di un pendolo ideale, mentre T rappresenta il periodo che effettivamente si misura quando l’ampiezza di oscillazione è pari a un 𝜶 espresso in radianti e non più trascurabile come ampiezza..

Questa relazione mette in evidenza che le oscillazioni del pendolo, per ampiezze grandi, non sono isocrone, ma dipendono dal valore di 𝜶; nella nostra trattazione analizzeremo, per semplicità, solo piccole oscillazioni.

Osserviamo e studiamo il moto

Messi in moto simultaneamente i due pendoli, si osserva che, a causa della loro diversa lunghezza, sono sfasati; dopo un certo numero di oscillazioni, ritornano in fase, seppure transitoriamente.

Indichiamo la differenza tra i due periodi di oscillazione con

I due pendoli tornano in fase quando n oscillazioni del pendolo più lento corrispondono a n+1 del secondo, quello che ha il filo più corto.

Indichiamo con T_B l’intervallo di tempo che deve trascorrere prima che i due pendoli “battano” insieme, ovvero tornino in fase.

Da questa relazione ricaviamo

Noti l’intervallo di tempo  T_B e il numero di oscillazioni del pendolo più lento, si può ricavare la differenza tra i due periodi.

Tanti pendoli…ma come si determina la loro lunghezza?

Proviamo a ragionare.

Partiamo dal primo pendolo che vogliamo abbia una frequenza di 40 oscillazioni complete in 1 minuto; calcoliamone la lunghezza.

Dalla formula della frequenza ricaviamo l₁

Esprimendo la frequenza in hertz e calcolando la lunghezza, si ottiene

Il secondo pendolo che lunghezza dovrà avere?

Dovrà avere una lunghezza che consenta di osservare 41 oscillazioni in un minuto, quindi una frequenza di

Quanto vale la differenza tra i periodi dei primi due pendoli?

La relazione

consente di scrivere una relazione generale

A questo punto si procede con i calcoli per determinare la lunghezza degli altri pendoli, incrementando di 1 il valore di (n+1), calcolando la frequenza corrispondente e ricavando la nuova lunghezza. E così via…

E ora diamo il via alle danze!!